Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения
уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.
Ход урока
1. Организационная
часть (Цель занятия)
2. Актуализация
знаний
- Алгебраическое определение модуля
|a| =
- Вычислите модули чисел: 3, -8, 10, 0.
- Решите уравнения
- Решите неравенства
- Запишите к каждому чертежу соответствующее
уравнение или неравенство
3. Изучение
нового материала
- Найдите расстояние между двумя точками координатной прямой
А) А(-1) и В(3)
Б) Р(0,0001) и Q(132)
В) М(-2) и N(-87)
- Формула расстояния между двумя точками координатной прямой
с координатами х и а:
ρ(x,a) = |x - a|
Геометрическое истолкование выражения |x-a|- это расстояние между двумя точками
координатной прямой.
- Отметить на координатной прямой точки, для которых
|x| = 1
|x| ≥ 3
|x| > 2
1 < |x| < 4
|x| = 0
|x| = -1
- Каков смысл выражений?
Изобразите множества,
задаваемые этими предложениями на координатной прямой. Иными словами переведем
аналитические модели на геометрический язык.
- Решим неравенство |х-2| <3
Переведем аналитическую модель на
геометрический язык: нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые
удовлетворяют условию ρ (х,2) < 3. Другими словами удалены от точки с
координатой 2 на расстояние меньше 3.
Это все точки, принадлежащие интервалу (-1;5)
Ответ: (-1;5)
- Как решить уравнение?
|х-5|+|х+1|=8
Выражение |х-5| можно
истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.
Выражение |х+1| можно
истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.
Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний
от которой до точек с
координатами 5 и -1 равна 8.
Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно,
точка с координатой х находиться вне отрезка [-1;5] и таких точек две.
Ответ: х=-2, х=6
Что произойдет,
если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения?
При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1<6.
При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как
все точки отрезка [-2;6] удовлетворяют условию уравнения.
При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.
Вывод:
- Если сумма модулей больше расстояния между двумя
точками, то уравнение имеет два решения.
- Если сумма модулей равна расстоянию между двумя
точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку
между точками.
- Если расстояние между двумя точками меньше
суммы модулей,
то решений нет.
4. Закрепление
полученных знаний
- Решите неравенство: |х-5| < 2
Ответ: (3;7) - Решите неравенство: |х+3| ≥ 4
Ответ: x ≤ -7, x ≥ 1 - Решите уравнение: |х-1| +|х+2|=5
Ответ: x=2, x=-3
- Изобразите на координатной плоскости решения
неравенств:
1. |х-1|+|х+2|=5
2. | х-1|+|х+2|<5
-
Самостоятельно исследуйте, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений а:
|х+3| +|х-1|=
Ответ:
а) Если, а=4, то уравнение имеет множество решений –
отрезок [-3;1]<ик>
б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня
в) Если а<4, то уравнение не имеет решений
5. Домашнее задание
1. Исследовать уравнение: |х+3| -|х-1|=а
2. Решить № 13, № 16 (а,б)
6. Итог занятия:
- Геометрический смысл модуля
- Как применить геометрический смысл модуля для
решения неравенств
- Как применить геометрический смысл модуля для
решения уравнений
|
З В О Н О К НА У Р О К
