Контрольные задания по теме "Делимость" - МАТЕМАТИКА - ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К УРОКАМ - МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом четного числа?
Пятая степень числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Почему? Для каких еще степеней это верно?
Квадрат целого положительного числа оканчивается на те же 2 цифры, что и само число. Что это за цифры?
Докажите, что ни при каком натуральном k число 3^k + 5^k не является квадратом натурального числа.
Найти остаток при делении (116 + 17¹⁷)^21?7⁴⁹на 8.
Докажите, что если a и b – натуральные числа, причем а² + b² делится на 21, то а² + b² делится и на 441.
При каких натуральных n выражение n² – 6n – 4 делится на 13?
Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.
Последовательность чисел Фибоначчи задана по следующему правилу: Ф₁ = Ф₂ = 1, при n > 1 Ф_n+1 = Ф_n + Ф_{n – 1} (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...). К числам Ф ₁₀₀ и Ф₉₉ применили алгоритм Евклида. Через сколько шагов он закончится, и чему равен его результат?
Числа a, b и c взаимно просты в совокупности, то есть НОД(a, b, c) = 1. Докажите, что любое целое число линейно представимо через a, b и c, то есть для любого d существуют целые x, y и z такие, что d = ax + by + cz.
Десятичная запись числа A состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли число A быть полным квадратом?
Найти все k, для которых 2^k – 1 делится на 7.
Докажите, что если число a + b + c делится на 6, то число a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.
Найдите НОД (2³⁵ + 1, 2¹⁰⁰ + 1).
В государстве имеют хождение монеты достоинством a и b золотых, где a и b – взаимно простые натуральные числа.

а) Докажите, что такими монетами можно набрать (без сдачи) любую сумму, начиная с 2ab золотых.

б) Найдите наибольшее число золотых, которое нельзя набрать такими монетами.

a и b – взаимно простые натуральные числа. В доме есть лифт с двумя кнопками, одна из которых поднимает лифт на a этажей вверх, а вторая опускает на b этажей вниз, если это возможно (например, на последнем этаже первая кнопка не работает). Докажите, что на этом лифте можно попасть с любого этажа на любой другой, если высота дома не меньше а) 2ab ; б) a + b.

Вторник, 04.11.2025, 08:39 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОРТАЛ	Приветствую Вас Гость \| Регистрация \| Вход
З В О Н О К НА У Р О К Было бы желание - найдешь на сайте знания!	Вы вошли как Гость \| Группа "Гости" \| RSS Главная \| Мой профиль \| Выход